Rhifau real a'u priodweddau

Honnodd Pythagoras bod y rhif yn y seiliad y byd ar yr un lefel â'r prif elfennau. Credai Plato fod y nifer o gysylltiadau y ffenomen a'r noumenon, gan helpu i adnabod, rhaid pwyso a mesur ac i ddod i gasgliadau. Daw Rhifyddeg o'r gair "arifmos" - y rhif, mae'r man cychwyn mewn mathemateg. Mae'n bosibl i ddisgrifio unrhyw wrthrych - o elfennol i fannau haniaethol afal.

Anghenion fel ffactor datblygu

Yn ystod camau cychwynnol y datblygiad cymdeithas anghenion pobl gyfyngu gan yr angen i gadw sgôr - .. Mae un bag o rawn, dau bag grawn, ac ati Er mwyn gwneud hyn, yr oedd rhifau naturiol, y set o sy'n dilyniant diddiwedd o gyfanrifau positif N.

Yn ddiweddarach, mae datblygu mathemateg fel gwyddoniaeth, roedd yn angenrheidiol yn y maes penodol o gyfanrifau Z - mae'n cynnwys gwerthoedd negatif a sero. Mae ei ymddangosiad ar y lefel ddomestig, cafodd ei ysgogi gan y ffaith bod gan y cyfrifo cychwynnol i rhywsut ddatrys y dyledion a cholledion. Ar lefel gwyddonol, rhifau negyddol wedi ei gwneud yn bosibl i ddatrys syml hafaliadau llinol. Ymhlith pethau eraill, mae bellach yn bosibl i ddelwedd system ddibwys cydlynu, hy. A. Cafwyd pwynt cyfeirio.

Y cam nesaf oedd yr angen i fynd i mewn rhifau ffracsiynol, gan nad gwyddoniaeth yn aros yn ei unfan, mae mwy a mwy o ddarganfyddiadau newydd yn gofyn am sail ddamcaniaethol ar gyfer twf gwthio newydd. Felly roedd cae o rifau cymarebol Q.

Yn olaf, bellach yn cwrdd â gofynion rhesymoledd, gan fod yr holl ganfyddiadau newydd angen cyfiawnhad. Roedd cae o rifau real R, y gwaith o incommensurability Euclid o rai meintiau oherwydd eu anrhesymoldeb. Hynny yw, mae'r mathemategydd Groegaidd hynafol lleoli nid yn unig nifer fel cyson, ond fel gwerth haniaethol sy'n cael ei nodweddu gan y gymhareb o meintiau incommensurable. Oherwydd y ffaith bod niferoedd go iawn, "rydym yn gweld y goleuni" gwerthoedd megis "pi" a "e", heb na allai mathemateg modern wedi digwydd.

Mae arloesedd olaf oedd rhif cymhlyg o C. Mae'n atebodd cyfres o gwestiynau a gwrthbrofodd postulates gofnodi o'r blaen. Oherwydd y datblygiad cyflym o ganlyniad algebra yn rhagweladwy - gyda rhifau real, nid penderfyniad llawer o broblemau oedd yn bosibl. Er enghraifft, diolch i'r rhifau cymhlyg sefyll allan theori llinyn a hafaliadau anhrefn ehangach o hydrodynameg.

Gosod Theori. cantor

Mae'r cysyniad o anfeidredd wastad wedi achosi dadlau, gan ei bod yn amhosibl i brofi neu wrthbrofi. Yng nghyd-destun mathemateg, sy'n cael ei weithredu postulates gwirio llym, mae'n amlygu ei hun yn fwyaf amlwg, y mwyaf bod yr agwedd diwinyddol yn dal i bwyso mewn gwyddoniaeth.

Fodd bynnag, drwy waith mathemategydd Georg Cantor syrthiodd holl amser i'w le. Roedd yn profi bod y setiau anfeidrol mae set ddiddiwedd, a bod y cae R yn fwy na'r cae N, gadewch y ddau ohonynt ac nid oes diwedd. Yng nghanol y ganrif XIX, ei syniadau a elwir yn gyhoeddus nonsens ac yn drosedd yn erbyn ganonau ddigyfnewid clasurol, ond bydd yn amser rhoi popeth yn ei le.

priodweddau sylfaenol y cae R

niferoedd gwirioneddol, nid yn unig yn cael yr un eiddo â'r podmozhestva eu bod yn cynnwys, ond yn cael eu hategu gan masshabnosti arall oherwydd ei elfen:

• Zero R. bodoli ac yn perthyn i'r maes c + = c 0 ar gyfer unrhyw c R.
• Zero yn bodoli ac yn perthyn i'r maes R. c x 0 = 0 ar gyfer unrhyw c R.
• Mae'r gymhareb c: d pan d ≠ 0 yn bodoli ac yn ddilys am unrhyw c, d o R.
• Field R archebu, hy os yw c ≤ d, d ≤ c, yna c = d ar gyfer unrhyw c, d o R.
• Ychwanegu yn y maes R yn cymudol, hy c + d = d + c, ar gyfer unrhyw c, d o R.
• Lluosi yn y maes R yn cymudol, hy x c x d = d c ar gyfer yr holl c, d o R.
• Ychwanegu yn y maes R yn cysylltiadol hy (c + d) + f = c + (d + f) ar gyfer unrhyw c, d, f R.
• Lluosi yn y maes R yn cysylltiadol hy (c x d) x f = c x (d x f) ar gyfer unrhyw c, d, f R.
• Ar gyfer pob rhif o cae R gyferbyn ag ef yno, fel bod c + (-c) = 0, lle mae c, -c oddi wrth R.
• Ar gyfer pob rhif o cae R bodoli ei wrthdro, fel bod c x c ^-1 = 1 lle c, c ^-1 o R.
• Uned yn bodoli ac yn perthyn i R, fel bod y c x 1 = c, ar gyfer unrhyw c R.
• Mae ganddo'r dosbarthiad gyfraith pŵer, fel bod c x (d + f) = c x c x f d +, ar gyfer unrhyw c, d, f R.
• Mae'r cae R Nid yw sero yn hafal i undod.
• Field R yw transitive: os c ≤ d, d ≤ f, yna c ≤ f ar gyfer unrhyw c, d, f R.
• Yn y R a ychwanegiad archeb yn gydgysylltiedig: os c ≤ d, yna c + f ≤ d + f ar gyfer yr holl c, d, f R.
• Yn y drefn R a lluosi cysylltiedig: os 0 ≤ c, 0 ≤ d, yna 0 ≤ x c d ar gyfer unrhyw c, d o R.
• Gan fod rhifau negyddol a chadarnhaol go iawn parhaus, hy, ar gyfer unrhyw c, d R f, mae yn bodoli o R, sy'n c ≤ ≤ f d.

maes Modiwl R

Mae'r rhifau real yn cynnwys y fath beth fel modiwl. Dynodedig fel y | f | ar gyfer unrhyw f yn R. | f | = F, os 0 ≤ f a | f | = -f, os 0> f. Os byddwn yn ystyried y modiwl fel gwerth geometrig, mae'n bellter - does dim ots, "pasio" chi fel sero yn y negyddol i'r cadarnhaol neu ei flaen.

rhifau cymhlyg a real. Beth yw'r debyg ac yn wahanol?

Ar y niferoedd mawr, cymhleth a go iawn - maent yn un a'r un, ac eithrio bod y cyntaf ymuno â'r uned dychmygol i, y sgwâr sydd yn hafal i -1. Elfennau caeau R a gellir C yn cael ei gynrychioli gan y fformiwla ganlynol:

• c = d + f x i, yr hwn d, f perthyn i faes R, a fi - uned dychmygol.

Er mwyn cael y c R f yn yr achos hwn yn cymryd yn ganiataol yn syml i fod yn sero, hy, nid oes dim ond y rhan go iawn o'r nifer. Oherwydd bod y maes rhifau cymhleth yr un nodwedd gosod fel maes go iawn, f x ff = 0 os f = 0.

O ran gwahaniaethau ymarferol, er enghraifft ym maes R hafaliad cwadratig na ellir eu datrys os yw'r Gwahanolyn yn negyddol, er nad y blwch C yn gorfodi cyfyngiad hwn drwy gyflwyno'r uned dychmygol i.

canlyniadau

"Brics" o axioms ac rhagdybio y gellir mathemateg sylfaenol, peidiwch â newid. Ar rai ohonynt oherwydd y cynnydd gwybodaeth a chyflwyno damcaniaethau newydd yn gosod y "brics" yn dilyn, a all yn y dyfodol yn dod yn sail ar gyfer y cam nesaf. Er enghraifft, rhifau naturiol, er gwaethaf y ffaith eu bod yn is-set o'r cae R go iawn, nid yw'n colli ei berthnasedd. Mae'n iddynt hwy sail yr holl rhifyddeg elfennol, sy'n dechrau gyda'r wybodaeth o ddyn o heddwch.

O safbwynt ymarferol, mae'r rhifau real yn edrych fel llinell syth. Mae'n bosibl i ddewis cyfeiriad, i adnabod y tarddiad a thraw. Direct yn cynnwys nifer anfeidrol o bwyntiau, pob un ohonynt yn cyfateb i un rhif real, heb ystyried ai peidio rhesymegol. O'r disgrifiad mae'n amlwg ein bod yn sôn am y cysyniad, sydd wedi ei lleoli mathemateg yn gyffredinol, ac yn dadansoddi mathemategol yn arbennig.