Paradocs Russell: gwybodaeth sylfaenol, enghreifftiau, llunio

Russell paradocs yw dau antinomy rhesymegol rhyngddibynnol.

Mae dau fath o paradocs Russell

Y math mwyaf drafodwyd yn aml o gwrthddweud mewn setiau rhesymeg. Mae rhai o'r set yn ymddangos i fod yr aelodau eu hunain, ac eraill - dim. Mae set o holl setiau ei hun yn set, felly mae'n ymddangos ei fod yn cyfeirio at ei hun. Null neu'n wag, fodd bynnag, ni ddylai fod yn aelod ohoni ei hun. Felly, nid yw'r set o'r holl setiau, fel sero yn cael ei gynnwys i mewn i hun. Y paradocs codi pan fydd y cwestiwn a oedd y set o aelod ei hun. Mae hyn yn bosibl os a dim ond os nad yw'n.

Ffurflen paradocs arall yw gwrthddweud ynghylch eiddo. Rhai eiddo, yn ymddangos i gyfeirio at eu hunain, tra bod eraill yn cael eu. Mae'r eiddo yn yr eiddo ei hun yn eiddo, tra bod y eiddo boed Nid gath yw. Ystyriwch yr eiddo o gael eiddo nad yw'n perthyn iddo. os yw'n berthnasol i ei hun? Unwaith eto, dylai unrhyw un o'r rhagdybiaethau yn y gwrthwyneb. Y paradocs ei henwi er anrhydedd i'r Bertrand Russell (1872-1970), a ddarganfu ef yn 1901.

stori

Digwyddodd Agor Russell yn ystod ei waith ar "Egwyddorion Mathemateg". Er ei fod yn darganfod y paradocs yn annibynnol, mae tystiolaeth bod fathemategwyr a datblygwyr o theori a osodwyd, gan gynnwys Ernst Zermelo ac eraill David Hilbert, yn ymwybodol o'r fersiwn cyntaf gwrthddywediadau ger ei fron ef. Russell, fodd bynnag, oedd y cyntaf a drafodwyd yn fanwl y paradocs yn ei weithiau cyhoeddedig, yn gyntaf geisio ffurfio atebion a'r cyntaf i werthfawrogi yn llawn ei arwyddocâd. Mae pennod cyfan o "Egwyddorion" ei neilltuo i drafod y mater hwn, a bod y cais wedi'i neilltuo i theori o fathau, a oedd yn cynnig Russell fel ateb.

darganfod Russell y "paradocs y celwyddog ', gan ystyried damcaniaeth set Cantor sy'n dweud bod y pŵer o unrhyw set yn llai na'r set ei is-setiau. Mae o leiaf yn y parth fod yn gymaint o is-setiau gan fod elfennau ynddo, os bydd un is-set o bob elfen wedi ei osod yn cynnwys dim ond yr elfen hon. Ar ben hynny, profodd Cantor na all y nifer o elfennau yn hafal i nifer y is-setiau. Os oedd yr un nifer, byddai'n rhaid iddo fodoli ƒ nodwedd a fyddai'n arddangos elfennau ar eu is-setiau. Ar yr un pryd y gellir profi bod hyn yn amhosibl. Gall rhai eitemau yn cael eu harddangos ar is-setiau y swyddogaeth ƒ sy'n eu cynnwys, er efallai na fydd pobl eraill.

Ystyriwch yr is-set o elfennau nad ydynt yn perthyn i'w delweddau, lle maent yn arddangos ƒ. Mae'n ei hun yn is-set o elfennau, ac felly, byddai ƒ swyddogaeth arddangos ar elfen yn y parth. Y broblem yw bod yna mae'r cwestiwn yn codi ynghylch a yw elfen hon yn perthyn i'r is-set y mae'n dangos ƒ. Mae hyn yn bosib dim ond os nad yw'n perthyn. Gall paradocs Russell gael ei weld fel enghraifft o'r un llinell o resymu, dim ond symleiddio. Yr hyn sy'n fwy - setiau neu is-setiau o'r set? Mae'n ymddangos y dylai fod mwy o setiau, gan fod yr holl is-setiau o'r setiau eu hunain. Ond os theorem Cantor yn wir, yna dylai fod mwy o is-setiau. Russell hystyried yn syml yn arddangos setiau ar eu hunain a'u cymhwyso ymagwedd kantoriansky ystyried y set o'r holl elfennau hyn, y tu allan i set y maent yn cael eu harddangos. Yn dangos Russell yn dod yn set o'r holl setiau, di.

gwall Frege

"Y paradocs y gelwyddog" wedi cael effaith aruthrol ar ddatblygiad hanesyddol y ddamcaniaeth o setiau. Dangosodd bod y cysyniad o set cyffredinol yn broblematig iawn. Cwestiynodd hefyd y syniad y gall ar gyfer pob cyflwr neu predicate diffiniedig tybio bodolaeth lluosogrwydd o ddim ond pethau hynny sy'n bodloni'r amod hwn. paradocs Opsiwn yn ymwneud â'r eiddo - yn estyniad naturiol i'r fersiwn setiau - codi amheuon difrifol ynghylch a yw'n bosibl dadlau am fodolaeth amcan eiddo neu cydymffurfiad cyffredinol i bob un a bennir gan y cyflwr, neu predicate.

Yn fuan y wrthddywediadau a phroblemau yng ngwaith y logicians canfuwyd, athronwyr a mathemategwyr sydd wedi gwneud tybiaethau tebyg. Yn 1902, canfu Russell y gall amrywiad ar y paradocs gael ei fynegi mewn system resymegol, a ddatblygwyd mewn Cyfrol I o "Sylfeini rhifyddeg" Gottlob Frege, yn un o'r prif waith ar y rhesymeg y diweddar XIX - dechrau'r ganrif XX. Yn athroniaeth Frege lawer eu deall fel "estyniad" neu "gwerth-range" cysyniad. Mae'r cysyniadau yw'r agosaf at rai cydberthynas. Disgwylir iddynt bodoli ar gyfer unrhyw gyflwr a roddir neu predicate. Felly, mae yna gysyniad o set, nad yw'n dod o dan ei gysyniad diffinio. Mae yna hefyd ddosbarth a ddiffinnir gan y cysyniad hwn, ac mae'n amodol ar ddiffinio ei gysyniad dim ond os nad yw'n.

Ysgrifennodd Russell i Frege am y gwrthdaro hwn ym Mehefin 1902 Gohebiaeth wedi dod yn un o'r rhai mwyaf cyffrous ac yn siarad am yn hanes rhesymeg. Frege ar unwaith yn cydnabod y canlyniadau trychinebus y paradocs. Nododd, fodd bynnag, bod y fersiwn o'r ddadl ynghylch eiddo yn ei athroniaeth ei ddatrys trwy wahaniaethu rhwng y cysyniadau o lefelau.

syniad Frege yn deall fel y trosglwyddiad o'r dadleuon y swyddogaeth i WIR. Mae'r cysyniadau lefel gyntaf gymryd fel dadleuon amcanion yr ail cysyniadau lefel cymryd fel dadleuon i'r swyddogaethau hyn, ac yn y blaen. Felly, gall y cysyniad byth yn cymryd ei hun fel dadl, ac ni all y paradocs o ran y tai yn cael eu llunio. Serch hynny setiau, ehangu neu gysyniadau Frege ddeall fel yn cyfeirio at yr un math rhesymegol fel bod yr holl wrthrychau eraill. Yna, ar gyfer pob set mae cwestiwn a yw'n dod o dan y cysyniad o ddiffinio ei.

Pan Frege, derbyniodd Russell y llythyr cyntaf, yr ail gyfrol o "Sylfeini rhifyddeg" eisoes wedi ei gwblhau print. Cafodd ei orfodi i baratoi cais sy'n rhoi ateb i'r paradocs Russell yn gyflym. Enghreifftiau Frege yn cynnwys nifer o atebion posibl. Ond efe a ddaeth i'r casgliad gwanhau'r cysyniad o set tynnu mewn system resymegol.

Yn y gwreiddiol, roedd yn bosibl i ddod i'r casgliad bod y gwrthrych yn perthyn i'r set os a dim ond os yw'n dod o fewn y cysyniad, yn diffinio ei. Gall y system ddiwygiedig ond yn dod i'r casgliad bod y gwrthrych yn perthyn i'r set os a dim ond os yw'n dod o fewn y syniad o ddiffinio lluosogrwydd, ond heb osod o dan sylw. paradocs Russell yn codi.

Yr ateb, fodd bynnag, nid yn gwbl fodlon ar Frege. A hyn oedd y rheswm. Sawl blwyddyn yn ddiweddarach, ffurf fwy cymhleth y gwrthddywediad wedi cael ei ganfod ar gyfer y system ddiwygiedig. Ond hyd yn oed cyn i hyn ddigwydd, wedi'u gadael Frege ei benderfyniadau ac yn ymddangos i ddod i'r casgliad fod ei dull yn syml anymarferol, a bydd yn rhaid bod rhesymeg i wneud heb unrhyw un o'r setiau.

Still eraill wedi eu cynnig, atebion eraill yn gymharol fwy llwyddiannus. Mae'r rhain yn cael eu trafod isod.

Mae'r ddamcaniaeth o fathau

Nodwyd uchod y Frege yn ymateb digonol i baradocsau o theori a osodwyd yn y fersiwn a luniwyd ar gyfer eiddo. Ymateb Frege yn ei ragflaenu gan yr ateb mwyaf drafodwyd yn aml i'r math hwn o paradocs. Mae'n seiliedig ar y ffaith bod yr eiddo yn amodol ar wahanol fathau a pha fath o eiddo byth yr un fath ag yr eitemau y mae'n cyfeirio at lle.

Felly, nid hyd yn oed y cwestiwn yn codi, a yw'r eiddo yn berthnasol i hun. iaith rhesymegol, sy'n gwahanu elfennau hierarchaeth o'r fath, gan ddefnyddio damcaniaeth o fathau. Er y caiff ei ddefnyddio eisoes gan Frege, y tro cyntaf iddo gael ei esbonio'n llawn a chadarn Russell yn yr Atodiad i "egwyddor". Mae damcaniaeth mathau yn fwy cyflawn na'r gwahaniaeth o lefelau Frege. Mae hi'n rhannu eiddo nid yn unig yn wahanol fathau o resymeg, ond gosod hefyd. teipiwch damcaniaeth i ddatrys y gwrthddweud yn y paradocs Russell a ganlyn.

Er mwyn bod yn ddigonol athronyddol, mabwysiadu y ddamcaniaeth o fathau o eiddo yn gofyn am ddatblygu damcaniaeth natur yr eiddo fel y gallai egluro pam na allant gael eu cymhwyso at eu hunain. Ar yr olwg gyntaf, mae'n gwneud synnwyr i briodoli eu heiddo eu hunain. Mae'r eiddo o fod yn hunan-hunaniaeth, mae'n ymddangos, mae hefyd yn hunan-hunaniaeth. Mae'r eiddo yn ymddangos i fod yn bleserus 'n glws. Yn yr un modd, mae'n debyg, mae'n ymddangos yn ffug i ddweud bod yr eiddo o fod yn gath yn gath.

Serch hynny, gwahanol feddylwyr cyfiawnhau yr is-adran o wahanol fathau. hyd yn oed yn rhoi Russell gwahanol esboniadau ar wahanol adegau yn ei yrfa. O'i ran ef, y rhesymeg ar gyfer gwahanu gwahanol gysyniadau o lefelau Frege yn dod o ei ddamcaniaeth o gysyniadau annirlawn. Cysyniadau fel swyddogaeth, yn ei hanfod, yn anghyflawn. Darparu gwerth, mae angen dadl. Nid yw cysyniad dim ond un y gallwch chi i briodoli cysyniad o'r un math, gan ei fod o hyd yn mynnu ei ddadl. Er enghraifft, er ei bod yn bosibl i gymryd ail isradd ail isradd rhif, nid ydych yn gallu defnyddio swyddogaeth ail isradd i'r swyddogaeth ail isradd a chael canlyniad.

Am eiddo geidwadaeth

Ateb arall posibl yw'r eiddo paradocs eiddo negyddu bodolaeth o dan unrhyw amodau a roddwyd, neu briodoli ffurfio'n dda. Wrth gwrs, os bydd rhywun yn eschews priodweddau metaffisegol o elfennau gwrthrychol ac annibynnol yn ei gyfanrwydd, os cymerwn paradocs nominalism gellir ei osgoi yn gyfan gwbl.

Fodd bynnag, i ddatrys y antinomy nid oes angen fod mor eithafol. Logic systemau uwch a ddatblygwyd Frege a Russell, yn cynnwys yr hyn a elwir yn egwyddor cysyniadol, yn ôl y mae pob fformiwlâu agored waeth pa mor gymhleth yn bodoli fel rhan o eiddo neu gysyniad, er enghraifft, dim ond yr eitemau hynny sy'n cyfateb i'r fformiwla. Maent yn cymhwyso i nodweddion pob set posibl o amodau neu predicates, ni waeth pa mor gymhleth oeddent.

Serch hynny, roedd yn bosibl i gymryd eiddo metaffiseg fwy trylwyr, gan roi'r hawl i fodolaeth gwrthrychol o priodweddau syml, gan gynnwys, er enghraifft, megis lliw coch, firmness, caredigrwydd ac yn y blaen. D. Gallwch hyd yn oed osod eiddo hyn yn berthnasol iddynt eu hunain, megis caredigrwydd y gall fod yn garedig.

A gall yr un statws i priodoleddau cymhleth yn cael ei wrthod, er enghraifft, yn y fath "eiddo" fel rhai ddwy ar bymtheg-pennau, yn cael ei-ysgrifenedig o dan ddŵr ac yn y blaen. D. Yn yr achos hwn, nid oes unrhyw amod a bennwyd ymlaen llaw yn bodloni'r eiddo, deall fel ar wahân elfen, sydd wedi ei eiddo ei hun eisoes yn bodoli. Felly gall un wadu bodolaeth priodweddau syml yn-eiddo-a-di-gymhwyso i hunan ac osgoi paradocs drwy gymhwyso eiddo metaffisegol yn fwy ceidwadol.

paradocs Russell: yr ateb

Uchod nodwyd bod ar ddiwedd ei oes Frege wedi'u gadael yn gyfan gwbl y rhesymeg o setiau. Mae hyn, wrth gwrs, un ateb i'r antinomy ar ffurf setiau: gwadu syml o fodolaeth elfennau megis yn ei gyfanrwydd. Yn ogystal, mae dewisiadau poblogaidd eraill, hanfodion a ddangosir isod.

Mae'r ddamcaniaeth ar gyfer sawl math o

Fel y soniwyd yn gynharach, chwaraeodd Russell am theori mwy cyflawn o fathau, a fyddai'n rhannu nid yn unig yn yr eiddo neu gysyniadau i wahanol fathau, ond gosod hefyd. Russell rennir gosod ar luosogrwydd o unedau ar wahân, nid lluosogrwydd o setiau o wrthrychau ar wahân, ac yn y blaen yn cael eu hystyried y setiau o wrthrychau, a lluosogrwydd o setiau - .. Setiau. Mae llawer o byth yn mwynhau'r math, yn gadael i chi gael fel aelod o ei hun. Felly nid oes set o'r holl setiau nad ydynt yn aelodau ei hun, gan fod ar gyfer unrhyw set o gwestiynau ynghylch a yw'n fel aelod, ei hun yn fath groes. Unwaith eto, mae'r mater dan sylw yma yw esbonio setiau metaffiseg i esbonio'r seiliau athronyddol yr is-adran yn fathau.

haenu

Yn 1937, V. V. Kuayn wedi cynnig ateb arall, mewn ffordd debyg i'r ddamcaniaeth o fathau. Gwybodaeth sylfaenol am y peth yn cael eu.

Gwahanu setiau ac eraill elfen. Wedi'u gwneud fel bod y rhagdybiaeth o ddod o hyd lluosogrwydd bob amser yn anghywir neu'n ddiystyr. nid yn unig yn cael ei ddarparu wrth ddiffinio eu cyflyrau Setiau yn fath groes. Felly, ar gyfer Quine, yr ymadrodd "Nid yw x yn aelod o x" yw'r datganiad ystyrlon nid yw'n awgrymu bodolaeth y set o'r holl elfennau x sy'n bodloni'r amod hwn.

Yn y system hon set bodoli ar gyfer rhai fformiwla agored A os a dim ond os caiff ei haenedig, t. E. Os bydd y newidynnau yn cael eu neilltuo gyfanrifau positif fel bod ar gyfer pob digwyddiad nodweddiadol o luosogrwydd o o'i flaen newidyn yn uned aseiniad neilltuo llai na'r newidiol, yn dilyn ar ei ôl. paradocs hwn blociau Russell, gan fod y fformiwla a ddefnyddir i benderfynu ar y broblem a osodwyd, mae yr un fath cyn ac ar ôl yr arwydd aelodaeth amrywiol gan ei wneud yn unstratified.

Ond mae'n rhaid iddo benderfynu a yw'r system yn deillio, a oedd yn galw Quine "Sylfeini Newydd o rhesymeg fathemategol" gyson eto.

Gwrthod

Mae dull hollol wahanol yn cael ei gymryd yn y theori Zermelo - Fraenkel (ZF). Yma, hefyd, yn gosod terfyn ar fodolaeth setiau. Yn lle hynny, fynd at y "top-lawr" o Russell a Frege, a oedd yn credu i ddechrau y gallai ar gyfer yr holl gysyniadau, eiddo, neu amodau yn awgrymu bodolaeth y set o'r holl bethau gyda eiddo hwn neu i gyfarfod y fath gyflwr, yn ZF-theori, mae popeth yn dechrau "o'r gwaelod i fyny."

elfennau unigol o'r set wag ac yn ffurfio set. Felly, yn wahanol i systemau cynharach a Russell Frege FIT nad yw'n perthyn i'r set cyffredinol sy'n cynnwys yr holl elfennau a hyd yn oed yr holl setiau. ZF yn gosod cyfyngiadau llym ar fodolaeth setiau. Mai bodoli dim ond y rhai y mae'n cael ei rhagdybiedig glir, neu a allai gael eu llunio drwy brosesau ailadroddol ac yn y blaen. D.

Yna, yn hytrach na'r tynnu cysyniad set naïf sy'n nodi bod elfen benodol yn cael ei chynnwys yn y set os a dim ond os yw'n bodloni'r amodau yn yr egwyddor gwahanu ddefnyddir DF, gwahanu neu "didoli". Yn hytrach na thybio fodolaeth y set o'r holl elfennau sydd yn ddieithriad yn bodloni amod benodol, ar gyfer pob set bresennol Aussonderung dangos bodolaeth is-set o'r holl elfennau yn y set gwreiddiol a bodloni'r amod.

Yna daw egwyddor tynnu dŵr: os bydd y set A yn bodoli, yna, ar gyfer pob x yn A, x yn perthyn i'r is-set A, sy'n bodloni'r amod os a dim ond os x yn bodloni'r amod C. Mae'r dull hwn yn datrys y paradocs Russell, ers i ni ellir yn syml gymryd yn ganiataol hynny yw, y set o'r holl setiau nad ydynt yn aelodau ohonynt eu hunain.

Mae cael llawer o setiau, gallwch ddewis neu rannu yn setiau, sydd ynddynt eu hunain, a'r rhai nad ydynt yn o'r fath, ond gan nad oes set cyffredinol, nid ydym yn rhwym set o'r holl setiau. Heb gymryd bod y broblem yn gosod na ellir Russell groes yn cael ei brofi.

atebion eraill

Yn ogystal, cafwyd estyniadau dilynol neu addasiadau o'r atebion hyn, fel damcaniaeth-fath fforc o "Egwyddorion Mathemateg" ehangu system "rhesymeg fathemategol" Quine, yn ogystal â datblygiadau mwy diweddar yn y theori o setiau, a wnaed Bernays, Gödel a von Neumann. Mae'r cwestiwn a yw'r ymateb i'r paradocs anhydawdd Bertrand Russell o hyd, yn dal i fod yn fater o drafodaeth.