Ffurfiant, Addysg uwchradd ac ysgolion
Mae'r amhenodol annatod. Cyfrifiant integrynnau amhenodol
Un o'r darnau sylfaenol o ddadansoddi mathemategol yn y calcwlws annatod. Mae'n cwmpasu maes eang iawn o wrthrychau, lle y cyntaf - mae'n hanfodol y amhenodol. Sefyllfa mae'n sefyll fel allwedd sydd yn dal i fod yn yr ysgol yn uchel yn datgelu nifer gynyddol o ragolygon a chyfleoedd, sy'n disgrifio mathemateg uwch.
ymddangosiad
Ar yr olwg gyntaf, mae'n ymddangos yn hollol annatod o modern, amserol, ond yn ymarferol mae'n troi allan ei fod wedi dod yn ôl yn 1800 CC. Gartref i ystyried yn yr Aifft yn swyddogol gan nad oedd ein cyrraedd tystiolaeth gynharach o'i fodolaeth. Mae'n oherwydd diffyg gwybodaeth, yr holl tra gosod yn syml fel ffenomen. Roedd unwaith eto yn cadarnhau y lefel datblygiad gwyddonol y bobloedd adegau hynny. Yn olaf, mae'r gwaith yn dod o hyd i'r mathemategwyr Groeg hynafol, yn dyddio o'r 4edd ganrif CC. Maent yn disgrifio'r dull a ddefnyddiwyd lle mae'r amhenodol annatod, hanfod a oedd i ddod o hyd i'r cyfaint neu arwynebedd siâp cromlinog (awyren tri-dimensiwn a dau-ddimensiwn, yn y drefn honno). cyfrifiad yn seiliedig ar yr egwyddor o is-adran o'r ffigur gwreiddiol yn gydrannau orfychan, ar yr amod bod y cyfaint (ardal) eisoes yn hysbys iddynt. Dros amser, mae'r dull wedi tyfu, Archimedes ei ddefnyddio i ddod o hyd i arwynebedd parabola. cyfrifiadau tebyg ar yr un pryd i gynnal ymarferion yn Tsieina hynafol, lle maent yn gwbl annibynnol ar y cyd wyddoniaeth Groeg.
datblygiad
Mae'r breakthrough nesaf yn yr unfed ganrif XI CC wedi dod yn waith yr ysgolhaig Arabaidd "wagen" Abu Ali al-Basri, a gwthio ffiniau'r eisoes yn hysbys, yn deillio o fformiwla annatod ar gyfer cyfrifo symiau y symiau a graddau o'r cyntaf i'r pedwerydd, gwneud cais am hyn yn hysbys i ni dull cynefino.
Meddyliau heddiw yn cael eu hedmygu gan yr Eifftiaid hynafol a grëwyd yr henebion anhygoel heb unrhyw offer arbennig, ac eithrio ar gyfer un eu dwylo eu hunain, ond nid yw yn bŵer o wyddonwyr gwallgof o'r amser heb fod yn llai gwyrth? O'i gymharu â'r amserau presennol eu bywydau yn ymddangos bron yn cyntefig, ond mae'r penderfyniad integrynnau amhenodol ddiddwytho ym mhob man ac yn eu defnyddio yn ymarferol ar gyfer datblygiad pellach.
Cynhaliwyd y cam nesaf lle yn yr unfed ganrif ar XVI, pan fydd y mathemategydd Eidal Cavalieri ddygwyd dull anwahanadwy, a oedd yn codi Per Ferma. Mae'r ddau bersonoliaeth gosod y sylfaen ar gyfer y calcwlws integrol modern, sy'n cael ei adnabod ar hyn o bryd. Maent yn clymu cysyniadau gwahaniaethu ac integreiddio, a oedd yn cael eu gweld yn flaenorol fel unedau hunangynhwysol. Ar y cyfan, fathemateg y pryd yn gronynnau dameidiog canfyddiadau yn bodoli eu pen eu hunain, gyda defnydd cyfyngedig. Ffordd i uno a dod o hyd i dir cyffredin oedd yr unig wir ar hyn o bryd, diolch iddo, y modern dadansoddiad mathemategol cael y cyfle i dyfu a datblygu.
Gyda threigl amser yn newid popeth a'r symbol hanfodol hefyd. Ar y cyfan, roedd gwyddonwyr sydd yn ei ffordd ei hun, er enghraifft, defnyddio Newton eicon sgwâr, a oedd yn rhoi swyddogaeth integradwy, neu yn syml roi at ei gilydd dynodedig.
Mae'r diffiniad ffurfiol
Integryn amhenodol yn dibynnu ar y diffiniad o'r cyntefig, felly rydym o'r farn ei bod yn y lle cyntaf.
Antiderivative - yw swyddogaeth gwrthdro y deilliad, yn ymarferol mae'n cael ei alw'n cyntefig. Fel arall: Swyddogaeth cyntefig o d - yn swyddogaeth D, sef y V v <=> deilliadol '= v. Chwilio cyntefig yw i gyfrifo'r amhenodol annatod, a elwir yn y broses ei hun yn cael ei integreiddio.
enghraifft:
Mae'r swyddogaeth s (y) = y 3, ac mae ei S cyntefig (y) = (y 4/4).
Mae set o bob primitives y swyddogaeth - mae hwn yn amhenodol annatod, dynodi ei fod fel a ganlyn: ∫v (x) dx.
Yn rhinwedd y ffaith bod V (x) - Dim ond rhai swyddogaeth wreiddiol cyntefig, mynegiant yn cynnal: ∫v (x) dx = V (x) + C, lle mae C - yn gyson. O dan y cyson mympwyol yn cyfeirio at unrhyw gyson, ers ei ddeilliad yn sero.
eiddo
Mae'r eiddo sydd gan y amhenodol annatod, yn ei hanfod yn seiliedig ar y diffiniad a phriodweddau deilliadau.
Ystyriwch y pwyntiau allweddol:
- deilliad annatod o'r cyntefig yn gyntefig ei hun yn ogystal â gyson C <=> ∫V fympwyol '(x) dx = V (x) + C;
- deilliadol o'r annatod o swyddogaeth yw swyddogaeth wreiddiol <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
- cyson yn cael ei gymryd allan o dan yr arwydd annatod <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, lle mae k - yn fympwyol;
- annatod, sy'n cael ei gymryd o'r swm y union hafal i'r swm o integrynnau <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
Gall y ddau eiddo olaf yn dod i'r casgliad bod y rhan annatod amhenodol yn llinol. Oherwydd hyn, rydym wedi: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
I weld enghreifftiau o osod atebion integrynnau amhenodol.
Mae'n rhaid i chi ddod o hyd i'r ∫ annatod (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.
O'r enghraifft gallwn ddod i'r casgliad nad ydych yn gwybod sut i ddatrys integrynnau amhenodol? Dim ond yn dod o hyd i holl primitives! Ond mae'r ymchwil am yr egwyddorion a drafodir isod.
Dulliau ac Enghreifftiau
Er mwyn datrys y hanfodol, gallwch droi at y dulliau canlynol:
- yn barod i fanteisio ar y bwrdd;
- integreiddio gan rannau;
- hintegreiddio drwy ddisodli'r newidyn;
- crynhoi o dan arwydd y gwahaniaeth.
tablau
Y ffordd fwyaf syml a phleserus. Ar hyn o bryd, gall dadansoddiad mathemategol brolio tablau eithaf helaeth, a oedd yn sillafu allan y fformiwla sylfaenol integrynnau amhenodol. Mewn geiriau eraill, mae templedi sy'n deillio i fyny i chi a gallwch fanteisio arnynt. Dyma'r rhestr o'r prif safleoedd dabl, y gellir eu harddangos yn bron bob achos, wedi ateb:
- ∫0dy = C, lle mae C - yn gyson;
- ∫dy = y + C, lle mae C - yn gyson;
- ∫y n dy = (y n + 1) / (n + 1) + C, lle mae C - gysonyn, a n - rhif wahanol i undod;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, lle mae C - yn gyson;
- ∫e y dy = e y + C , lle mae C - yn gyson;
- ∫k y dy = (k y / ln k) + C, lle mae C - yn gyson;
- ∫cosydy = siny + C, lle mae C - yn gyson;
- ∫sinydy = -cosy + C, lle mae C - yn gyson;
- ∫dy / cos 2 y = tgy + C, lle mae C - yn gyson;
- ∫dy / sin 2 y = -ctgy + C, lle mae C - yn gyson;
- ∫dy / (1 + y 2) = arctgy + C, lle mae C - yn gyson;
- ∫chydy = + swil C, lle mae C - yn gyson;
- ∫shydy = CHY + C, lle mae C - yn gyson.
Os oes angen, yn gwneud un neu ddau o gamau integrand arwain i farn tablau a mwynhau'r fuddugoliaeth. ENGHRAIFFT: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Yn ôl y penderfyniad, mae'n amlwg bod, er enghraifft brin o integrand tabl lluosydd 5. Rydym yn ychwanegu ei ochr yn ochr â'r lluosi hwn erbyn 1/5 i fynegiant gyffredinol nid oedd yn newid.
Integreiddio gan Rannau
Ystyriwch dwy swyddogaeth - z (y) ac x (y). Rhaid iddynt fod yn differu yn barhaus ar ei parth. Mewn un eiddo gwahaniaethu rydym wedi: d (XZ) = XDZ + zdx. Integreiddio y ddwy ochr, rydym yn cael: ∫d (XZ) = ∫ (XDZ + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.
Ailysgrifennu'r hafaliad sy'n deillio, rydym yn cael y fformiwla, sy'n disgrifio dull o integru fesul rhan: ∫zdx = ZX - ∫xdz.
Pam mae ei angen? Mae'r ffaith bod rhai o'r enghreifftiau mae modd symleiddio, gadewch i ni ddweud, er mwyn lleihau ∫xdz ∫zdx, os yr olaf yn agos at y ffurf tabl. Hefyd, gall fformiwla hon yn cael ei ddefnyddio fwy nag unwaith, ar gyfer canlyniadau gorau posibl.
Sut i ddatrys integrynnau amhenodol fel hyn:
- angenrheidiol i gyfrifo ∫ (au + 1) e 2s ds
∫ (x + 1) e 2s ds = {= z s + 1, dz = d, y = 1 / 2e 2s, dy = e 2x ds} = ((au + 1) e 2s) / 2-1 / 2 ∫e 2s dx = ((au + 1) 2s e) / 2-d 2s / 4 + C;
- Rhaid cyfrifo ∫lnsds
∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.
Amnewid y newidyn
Mae'r egwyddor hon o ddatrys integrynnau amhenodol yn ddim llai o alw na'r ddau flaenorol, er bod yn gymhleth. Mae'r dull hwn fel a ganlyn: Gadewch V (x) - mae'r annatod o rai v swyddogaeth (x). Os digwydd hynny ynddo'i hun annatod yn Enghraifft slozhnosochinenny yn dod, yn debygol o drysu ac yn mynd i lawr y llwybr anghywir atebion. Er mwyn osgoi hyn newid arfer gan y newidyn x i z, lle mae'r mynegiant cyffredinol symlach weledol tra'n cynnal y z yn dibynnu ar x.
Mewn termau mathemategol, hwn fel a ganlyn: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), lle mae x = y ( z) - amnewid. Ac, wrth gwrs, y swyddogaeth gwrthdro z = y -1 (x) yn llawn yn disgrifio'r berthynas a'r berthynas o newidynnau. Nodyn pwysig - y dx gwahaniaethol o reidrwydd yn disodli gan dz gwahaniaethol newydd, ers y newid o amrywiol o ran integryn amhenodol yn golygu ei le ym mhob man, nid dim ond yn y integrand.
enghraifft:
- Mae'n rhaid i ddod o hyd i ∫ (au + 1) / (2 + 2 oed s - 5) ds
Gwneud cais y z amnewid = (au + 1) / (au 2 + 2s-5). Yna dz = 2sds = 2 + 2 (au + 1) ds <=> (au + 1) ds = dz / 2. O ganlyniad, mae'r ymadrodd canlynol, sy'n hawdd iawn i gyfrifo:
∫ (au + 1) / (au 2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN | s 2 + 2s-5 | + C;
- mae'n rhaid i chi ddod o hyd i'r rhan annatod ∫2 s e s dx
Er mwyn datrys y ailysgrifennu yn y ffurf ganlynol:
∫2 s e s ds = ∫ ( 2e) s ds.
Rydym ddynodi gan = 2e (ailosod y ddadl nad yw y cam hwn yn, mae'n dal s), rydym yn rhoi ein ymddangos yn gymhleth rhan annatod o ffurf tabl sylfaenol:
∫ (2e) s ds = ∫a s ds = mae ef / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 s e s / ln (2 + LNE) + C = 2 s e s / (LN2 + 1) + C.
Crynhoi arwydd gwahaniaethol
Ar y cyfan, y dull hwn o integrynnau amhenodol - y brawd efaill egwyddor newid amrywiol, ond mae gwahaniaethau yn y broses o gofrestru. Gadewch i ni ystyried yn fwy manwl.
Os ∫v (x) dx = V (x) + C ac y = z (x), yna ∫v (y) dy = V (y) + C.
Ar yr un pryd, rhaid i ni beidio ag anghofio y trawsffurfiadau annatod dibwys, ymhlith y:
- dx = d (x + a), a wherein - pob gyson;
- dx = (1 / a) d (ax + b), pan fo - gyson unwaith eto, ond nid sero;
- xdx = 1 / 2d (x 2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Os byddwn yn ystyried yr achos cyffredinol lle rydym yn cyfrifo'r amhenodol annatod, gall enghreifftiau yn cael eu cynnwys o dan y fformiwla gyffredinol w '(x) dx = dw (x).
enghreifftiau:
- Mae'n rhaid i ddod o hyd i ∫ (2s + 3) 2 ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)
∫ (2s + 3) 2 ds = 1 / 2∫ (2s + 3) 2 d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -ln | Coss | + C.
cymorth ar-lein
Mewn rhai achosion, gall y bai yn dod neu ddiogi, neu angen brys, gallwch ddefnyddio'r ysgogiadau ar-lein, neu yn hytrach, i ddefnyddio cyfrifiannell integrynnau amhenodol. Er gwaethaf y cymhlethdod ymddangosiadol a natur ddadleuol y integrynnau, mae'r penderfyniad yn amodol ar eu algorithm penodol, sy'n seiliedig ar yr egwyddor o "os nad ydych ... yna ...".
Wrth gwrs, ni fydd yn enghreifftiau arbennig o gymhleth o gyfrifiannell megis meistr, gan fod achosion lle y penderfyniad wedi i ddod o hyd i artiffisial "gorfodi" drwy gyflwyno rhai elfennau yn y broses, oherwydd bod y canlyniadau yn ffyrdd amlwg eu cyrraedd. Er gwaethaf natur ddadleuol y datganiad hwn, mae'n wir, gan fod y mathemateg, mewn egwyddor, yn wyddor haniaethol, ac mae ei brif amcan yn ystyried yr angen i roi grym i'r ffiniau. Yn wir, ar gyfer llyfn rhedeg i mewn y damcaniaethau yn anodd iawn i symud i fyny ac yn esblygu, felly peidiwch â chymryd yn ganiataol bod yr enghreifftiau o ddatrys integrynnau amhenodol, a roddodd i ni - mae hyn yn y uchder o gyfleoedd. Ond yn ôl at yr ochr dechnegol o bethau. O leiaf i wirio cyfrifiadau, gallwch ddefnyddio'r gwasanaeth y cafodd ei ysgrifennu atom. Os oes angen ar gyfer cyfrifo yn awtomatig ymadroddion cymhleth, yna nid oes yn rhaid iddynt droi at feddalwedd mwy difrifol. A ddylai dalu sylw yn bennaf ar yr amgylchedd Matlab.
cais
Mae penderfyniad integrynnau amhenodol ar yr olwg gyntaf yn ymddangos yn gwbl ar wahân oddi wrth realiti, oherwydd ei bod yn anodd gweld y defnydd amlwg o'r awyren. Yn wir, yn eu defnyddio yn uniongyrchol yn unrhyw le nad ydych yn gallu, ond maent yn elfen canolradd angenrheidiol yn y broses o dynnu'n ôl o atebion a ddefnyddir yn ymarferol. Felly, integreiddio gwahaniaethu yn ôl, yn cymryd rhan felly weithredol yn y broses o ddatrys hafaliadau.
Yn eu tro, hafaliadau hyn yn cael effaith uniongyrchol ar benderfyniad y problemau mecanyddol, cyfrifo taflwybr a dargludedd thermol - yn fyr, popeth sy'n gyfystyr y presennol ac yn llunio dyfodol. enghreifftiau Amhenodol annatod, yr ydym wedi ystyried uchod, dim ond dibwys ar yr olwg gyntaf, fel sylfaen i gyflawni mwy a mwy o ddarganfyddiadau newydd.
Similar articles
Trending Now