Cyfres Fourier: hanes a dylanwad y mecanwaith mathemategol ar gyfer datblygu gwyddoniaeth

Cyfres Fourier - y farn hon a ddewiswyd fympwyol swyddogaethau i'r cyfnod yn olynol. Yn gyffredinol, gelwir yr ateb hwn yn elfen ehangu ar sail orthogonol. Mae ehangu swyddogaethau mewn cyfres Fourier yn eithaf yn arf pwerus ar gyfer datrys problemau amrywiol o ganlyniad i nodweddion y trawsnewidiad yn y integreiddio, gwahaniaethu, yn ogystal â newid yn y mynegiant ddadl a convolution.

Mae person nad yw'n gyfarwydd â mathemateg yn uwch, yn ogystal â'r gwaith y Fourier gwyddonydd Ffrangeg, ni fydd y rhan fwyaf tebygol o ddeall beth mae'r "rhengoedd" a'r hyn maent yn ei wneud. Eto trawsnewid hwn yn eithaf gofnodi ein bywydau yn gadarn. Mae'n cael ei ddefnyddio, nid yn unig mathemateg, ond hefyd yn ffisegwyr, cemegwyr, meddygon, seryddwyr, seismologists, eigionegwyr ac eraill. Gadewch i ni hefyd yn edrych yn agosach â'r gwaith y gwyddonydd mawr Ffrainc a wnaeth y darganfyddiad, o flaen ei amser.

Mae'r dyn a'r Fourier trawsnewid

cyfres Fourier yw un o'r dulliau (ynghyd â dadansoddi ac eraill) y Fourier trawsnewid. Mae'r broses hon yn digwydd bob tro mae person yn clywed unrhyw sŵn. Mae ein clust yn awtomatig yn trosi y don sain. symudiad osgiladu o ronynnau elfennol mewn cyfrwng elastig yn cael eu hymestyn yn y gyfres (y sbectrwm) gwerthoedd cyfaint olynol i arlliwiau o wahanol uchder. Nesaf, mae'r ymennydd yn trosi data hwn i mewn i synau cyfarwydd i ni. Mae hyn i gyd yn ychwanegol at ein dymuniad neu ymwybyddiaeth ei hun, ond er mwyn deall y prosesau sy'n cymryd nifer o flynyddoedd i astudio mathemateg uwch.

Darllenwch fwy am y Fourier trawsnewid

Gellir cynnal dadansoddol, rhifolion a dulliau eraill y Fourier trawsnewid. cyfres Fourier yn broses rhifolyn i pydru unrhyw brosesau osgiladu - o'r llanw môr a thonnau o olau i gylchoedd solar (a gwrthrychau seryddol eraill) gweithgaredd. Gan ddefnyddio technegau mathemategol hyn, mae'n bosibl i dadosod y swyddogaeth, yn cynrychioli unrhyw brosesau osgiladu mewn nifer o gydrannau sinwsoidaidd sy'n mynd o leiaf at uchafswm ac i'r gwrthwyneb. Mae'r Fourier trawsnewid yn swyddogaeth disgrifio'r cam a osgled sinusoids cyfateb i amledd penodol. Gall y broses hon yn cael ei ddefnyddio ar gyfer datrys hafaliadau cymhleth iawn sy'n disgrifio'r prosesau dynamig sy'n digwydd dan effaith gwres, golau neu ynni trydanol. Hefyd, mae'r gyfres Fourier defnyddio i wahaniaethu cydrannau DC mewn tonffurfiau cymhleth, gan ei gwneud yn bosibl i ddehongli'r arsylwadau arbrofol mewn meddygaeth, cemeg a seryddiaeth yn gywir.

gwybodaeth hanesyddol

Tad ddamcaniaeth hon yw y mathemategydd Ffrengig Zhan Batist Zhozef Fure. Mae ei enw yn ddiweddarach ac trawsnewid hwn wedi cael ei alw. I ddechrau, mae'r gwyddonwyr yn defnyddio techneg i astudio ac esbonio dulliau o dargludedd thermol - lledaenu gwres mewn solidau. Awgrymodd Fourier y gall y dosbarthiad afreolaidd cychwynnol y don thermol yn cael ei pydredig i mewn i sinusoid syml, bydd pob un ohonynt yn cael ei tymheredd isaf a mwyaf, yn ogystal â'i gyfnod. Felly pob cydran o'r fath yn cael ei fesur o leiaf i vice uchaf ac is. Mae'r swyddogaeth mathemategol sy'n disgrifio'r copaon uchaf ac isaf y gromlin, yn ogystal â'r cam pob harmonig, a elwir yn Fourier trawsnewid o ddosbarthiad tymheredd o fynegiant. Mae awdur y ddamcaniaeth o leihau ffwythiant dosraniad cyffredinol sy'n anodd ei ddisgrifiad mathemategol, yn hawdd iawn i drin nifer o swyddogaethau cyfnodol o sin a cosin, yn y swm o roi dosbarthiad cychwynnol.

Mae'r egwyddor o drawsnewid a barn gyfoedion

Gyfoeswyr y gwyddonydd - y mathemategwyr blaenllaw ddechrau'r bedwaredd ganrif ar bymtheg - nid oedd yn derbyn ddamcaniaeth hon. Roedd y prif wrthwynebiad oedd cymeradwyo Fourier bod y swyddogaeth amharhaol disgrifio llinell syth neu gromlin wedi rhwygo, gellir ei gynrychioli fel swm o ymadroddion sinwsoidaidd sy'n barhaus. Fel enghraifft, yn ystyried yn "gam" Heaviside: ei werth yn sero ar ochr chwith y bwlch ac un ar y dde. Mae'r swyddogaeth hon yn disgrifio'r dibyniaeth cerrynt trydanol ar y newidyn amser ar gyfer y gadwyn cau. theori Cyfoes ar y pryd, erioed wedi dod ar draws sefyllfa o'r fath, pan fyddai mynegiant amharhaol yn cael ei ddisgrifio gan gyfuniad o swyddogaethau parhaus, cyffredin, megis esbonyddol, sin, llinol neu'n gwadratig.

Beth trafferthu mae'r mathemategwyr Ffrainc yn y theori Fourier?

Wedi'r cyfan, os mathemategydd yn iawn i ddadlau, yna, grynhoi cyfres Fourier trigonometrig anfeidrol, mae'n bosibl cael cynrychiolaeth gywir o'r cam mynegiant, hyd yn oed os oes ganddo set o gamau tebyg. Yn gynnar yn y bedwaredd ganrif ar bymtheg, mae hyn yn y datganiad yn ymddangos yn hurt. Ond er gwaethaf yr holl amheuon, mae llawer o fathemategwyr wedi ehangu cwmpas yr astudiaeth o ffenomen hon, gan ei symud y tu hwnt i'r astudiaethau dargludiad thermol. Fodd bynnag, mae'r rhan fwyaf o wyddonwyr yn parhau i ddioddef y cwestiwn: "? A all y swm y gyfres tonnau sin cydgyfeirio i'r union werth swyddogaeth amharhaol"

Cydgyfeirio gyfres Fourier: Enghraifft

Mae'r mater o gydgyfeirio yn codi bob tro y byddwch angen y Crynodeb o gyfres anfeidraidd o rifau. ystyried enghraifft glasurol ar gyfer deall y ffenomen hon. Allwch chi byth yn cyrraedd y wal, os yw pob cam yn hanner yr blaenorol? Tybiwch eich bod yn ddau fetr oddi wrth y nod, y cam cyntaf yn nes at tua hanner ffordd, y nesaf - y marc o dri chwarter, ac ar ôl y pumed, byddwch yn goresgyn bron i 97 y cant o'r ffordd. Fodd bynnag, ni waeth faint o gamau yr ydych wedi ei wneud naill na'r llall, y targed a fwriadwyd i chi gyrraedd mewn ystyr fathemategol llym. Gan ddefnyddio cyfrifiadau rhifiadol, gallwn brofi bod yn y diwedd fod yn nes at bellter fympwyol fach a roddir. Mae hyn yn cyfateb i brawf sy'n dangos bod cyfanswm gwerth hanner, un bedwerydd, ac yn y blaen. A fydd E. dueddol o undod.

Mae'r mater o gydgyfeirio: yr ail ddyfodiad, neu offeryn yr Arglwydd Kelvin

Dro ar ôl tro cododd y cwestiwn ar ddiwedd y bedwaredd ganrif ar bymtheg, pan fydd y gyfres Fourier wedi ceisio defnyddio i ragfynegi dwyster y llanw a'r trai. Ar y pryd, yr Arglwydd Kelvin ei ddyfeisio dyfais yn cyfrifiadur analog a oedd yn caniatáu morwyr llynges a monitro masnachwr morol yn ffenomen naturiol. Mae'r set mecanwaith ddiffiniedig o gyfnodau a amplitudes o uchder tabl y llanw a'r eiliadau amser cyfatebol, wedi'i fesur yn ofalus yn yr harbwr trwy gydol y flwyddyn. Mae pob paramedr yn sinwsoidaidd uchder llanw mynegiant cydran ac roedd yn un o'r cydrannau yn rheolaidd. Mae'r canlyniadau mesur yn mewnbwn i'r ddyfais gyfrifiadurol Arglwydd Kelvin, syntheseiddio gromlin a ragwelwyd uchder y dŵr fel swyddogaeth y flwyddyn ganlynol. Yn fuan iawn, cromliniau hyn eu llunio ar gyfer yr holl harbyrau y byd.

Ac os bydd y broses yn cael ei dorri swyddogaeth amharhaol?

Ar y pryd, yr oedd yn ymddangos yn amlwg y gall y ddyfais yn rhagweld ton llanw, gyda sawl elfen o'r cyfrif cyfrifo nifer fawr o gamau a amplitudes, ac felly yn darparu rhagfynegiad yn fwy cywir. Serch hynny, mae'n troi allan nad yw patrwm hwn yn arsylwi mewn achosion lle mae'r ymadrodd llanw fydd yn cael ei syntheseiddio, yn cynnwys naid sydyn, hynny yw, yn amharhaol. Os digwydd bod y cyfarpar i fynd i mewn data o dabl o bwyntiau amser, mae'n cyfrifo ychydig cyfernodau Fourier. Adennill y swyddogaeth wreiddiol oherwydd y gydran sinwsoidaidd (yn unol â chyfernodau o hyd). Gall y gwahaniaeth rhwng y gwreiddiol a'r mynegiant ailadeiladwyd yn cael ei fesur ar unrhyw adeg. Pryd y gall y cyfrifiadau amlroddadwy a chymariaethau eu gweld nad yw gwerth y camgymeriad mwyaf yn cael ei leihau. Fodd bynnag, maent yn cael eu lleol yn y rhanbarth sy'n cyfateb i'r pwynt o rupture, ac unrhyw bwynt arall yn tueddu i sero. Ym 1899, y canlyniad hwn Cadarnhawyd ddamcaniaethol Joshua Willard Gibbs Prifysgol Yale.

Cydgyfeirio gyfres Fourier a datblygu mathemateg yn ei gyfanrwydd

Nid yw dadansoddiad Fourier yn berthnasol i ymadroddion sy'n cynnwys nifer anfeidrol o rwygiadau mewn cyfnod penodol. Yn y gyfres Fourier gyffredinol, os yw'r swyddogaeth wreiddiol yn cael ei gynrychioli gan ganlyniad y mesuriadau corfforol gwirioneddol, bob amser yn cydgyfeirio. Cwestiynau o gydgyfeirio y broses hon ar gyfer dosbarthiadau penodol o swyddogaethau wedi arwain at ganghennau newydd o fathemateg, megis theori swyddogaethau cyffredinol. Mae'n gysylltiedig â enwau fel Schwartz, J .. Mikusiński a J. Temple. O dan y ddamcaniaeth hon, sail ddamcaniaethol clir a manwl ar gyfer mynegiant o'r fath wedi'i sefydlu fel y swyddogaeth delta Dirac (mae'n disgrifio'r rhanbarth ardal unigol, yn canolbwyntio mewn cymdogaeth orfychan o'r pwynt) a "gam" Heaviside. Drwy'r gwaith hwn gyfres Fourier daeth yn berthnasol ar gyfer datrys hafaliadau a phroblemau, sy'n cynnwys cysyniadau sythweledol: tâl pwynt, màs pwynt, deupolau magnetig, ac mae'r llwyth canolbwyntio ar y trawst.

dull Fourier

cyfres Fourier, yn unol ag egwyddorion ymyrraeth, yn dechrau gyda'r dadelfeniad o ffurfiau cymhleth yn symlach. Er enghraifft, newid mewn llif gwres oherwydd ei daith drwy'r gwahanol rwystrau y gwres deunydd inswleiddio o siâp afreolaidd neu newid wyneb y ddaear - daeargryn, newid yn yr orbit y corff nefol - dylanwad y planedau. Yn nodweddiadol, hafaliadau hyn yn disgrifio system elfennol clasurol syml datrys ar gyfer pob donfedd unigol. Fourier wedi dangos y gall atebion syml yn cael eu crynhoi fel ar gyfer tasgau mwy cymhleth. Yn yr iaith mathemateg, Fourier Cyfres - methodoleg ar gyfer cyflwyno swm o fynegiant harmonig - cosin a thonnau sin. Felly, mae'r dadansoddiad hwn yn cael ei adnabod hefyd o dan yr enw "dadansoddiad harmonig".

Cyfres Fourier - dull delfrydol i "oedran cyfrifiadur"

Cyn technoleg gyfrifiadurol dull Fourier creu yw'r arf gorau yn y arsenal o wyddonwyr sy'n gweithio gyda'r don natur ein byd. cyfres Fourier ffurf cymhleth yn caniatáu i chi, nid yn unig yn datrys problemau syml sy'n barod i gais o ddeddfau Newton o fecaneg uniongyrchol, ond hefyd y hafaliadau sylfaenol. Daeth y rhan fwyaf o'r darganfyddiadau gwyddoniaeth Newtonaidd o'r bedwaredd ganrif ar bymtheg bosib dim ond oherwydd y dull Fourier.

gyfres Fourier heddiw

Gyda datblygiad Fourier trawsnewid cyfrifiaduron wedi codi i lefel newydd. Mae'r dechneg hon wedi sefydlu ei hun ym mron pob maes o wyddoniaeth a thechnoleg. Fel enghraifft, mae sain digidol a fideo. Mae ei waith wedi cael ei wneud yn bosibl yn unig diolch i'r ddamcaniaeth a ddatblygwyd gan y mathemategydd Ffrengig o ddechrau'r bedwaredd ganrif ar bymtheg. Felly, y gyfres Fourier ffurf cymhleth wedi caniatáu i wneud dorri tir newydd yn yr astudiaeth o gofod allanol. Yn ogystal, mae wedi effeithio astudio ffiseg deunyddiau lled-ddargludyddion a plasma, acwsteg microdon, eigioneg, radar, seismoleg.

gyfres trigonometrig Fourier

Mewn mathemateg, mae cyfres Fourier yn ffordd o gynrychioli swyddogaethau cymhleth mympwyol fel swm o symlach. Mewn achosion cyffredinol, gall y nifer o ymadroddion yn ddiddiwedd. Po fwyaf y nifer a gyfrifwyd yn y cyfrifiad, y mwyaf cywir y canlyniad terfynol yn cael ei sicrhau. Y defnydd mwyaf cyffredin o cosin trigonometrig syml neu swyddogaeth sin. Yn yr achos hwn, a elwir yn y gyfres Fourier yn trigonometrig, a phenderfyniad ymadroddion o'r fath - dadelfennu harmonig. Mae'r dull hwn yn chwarae rhan bwysig mewn mathemateg. Yn gyntaf oll, mae'r gyfres trigonometrig yn darparu modd i y llun, yn ogystal ag astudio swyddogaethau, ei fod yn y brif uned y ddamcaniaeth. Yn ogystal, mae'n ein galluogi i ddatrys nifer o broblemau mewn ffiseg mathemategol. Yn olaf, ddamcaniaeth hon wedi cyfrannu at ddatblygu dadansoddiad mathemategol, mae'n arweiniodd at nifer o ganghennau pwysig iawn o wyddoniaeth mathemategol (theori integrynnau, theori swyddogaethau cyfnodol). Yn ogystal, mae'r man cychwyn ar gyfer datblygu'r canlynol theorïau: setiau, swyddogaethau newidyn go iawn, dadansoddi swyddogaethol, ac mae hefyd yn gosod y sylfaen ar gyfer dadansoddi harmonig.