Algebra Boole. algebra o rhesymeg. Elfennau rhesymeg fathemategol

Yn y byd heddiw, rydym yn gynyddol yn defnyddio amrywiaeth o beiriannau a gadgets. Ac nid yn unig pan fo angen gwneud cais nerth goruwchddynol llythrennol: symud y llwyth ei godi i'r uchder, cloddio ffos hir a dwfn, ac ati Cars heddiw casglu robotiaid, bwyd wedi'i goginio Multivarki a chyfrifiadau rhifyddeg elfennol cynhyrchu cyfrifianellau ... Mae mwy a mwy aml rydym yn clywed yr ymadrodd "algebra Boole". Efallai yr amser wedi dod i ddeall rôl bodau dynol yn y gwaith o robotiaid a pheiriannau creu y gallu i ddatrys nid yn unig mathemategol, ond hefyd problemau rhesymegol.

rhesymeg

Yn rhesymeg Groeg - system archebu o feddwl sy'n creu perthynas rhwng yr amodau a roddir ac yn caniatáu i chi wneud casgliadau ar sail tybiaethau a'r amcangyfrifon. Yn aml iawn, rydym yn gofyn i gilydd: "Mae'n rhesymol" Mae'r ateb yn cadarnhau ein tybiaethau neu beirniadu'r trên o feddwl. Ond nid yw'r broses yn dod i ben yno: rydym yn parhau i siarad.

Weithiau, y nifer o amodau (mewnbwn) mor fawr, a'r berthynas rhyngddynt mor ddryslyd a chymhleth nad yw'r ymennydd dynol yn gallu "dreulio" i gyd ar unwaith. Efallai y bydd angen mwy nag un mis (yr wythnos, blwyddyn) ar gyfer deall beth sy'n digwydd. Ond nid yw bywyd modern yn rhoi bylchau amser hyn i wneud penderfyniadau ni. Ac rydym yn troi at gymorth cyfrifiaduron. Ac yma y ceir algebra a rhesymeg, gyda'i chyfreithiau ac eiddo. Ar ôl lwytho i lawr yr holl ddata gwreiddiol, rydym yn caniatáu i'r cyfrifiadur i gydnabod pob perthynas, i ddileu gwrthddywediadau a dod o hyd i ateb boddhaol.

Mathemateg a rhesymeg

Enwog Gotfrid Vilgelm Leybnits luniodd y cysyniad o "rhesymeg mathemategol", sy'n dasgau yn hawdd i'w deall dim ond cylch bach o ysgolheigion. O ddiddordeb arbennig yw'r cyfarwyddyd nid oedd yn achosi, ac i ganol y ganrif XIX rhesymeg fathemategol hysbys gan ychydig.

Mae'r diddordeb mawr yn y gymuned wyddonol wedi achosi anghydfod lle mae'r Sais Dzhordzh Bul datgan ei fwriad i sefydlu cangen o fathemateg, peidio â chael dim defnydd ymarferol. Fel y gwyddom o hanes, ar hyn o bryd mynd ati i ddatblygu cynhyrchu diwydiannol, rydym yn datblygu pob math o beiriannau ategol, t. E. pob darganfyddiadau gwyddonol wedi cael gyfeiriadedd ymarferol.

Gan edrych i'r dyfodol, rydym yn dweud bod Boolean algebra - y mwyaf a ddefnyddir yn y byd heddiw yn rhan o fathemateg. Felly eich dadl Buhl colli.

Dzhordzh Bul

Mae personoliaeth yr awdur yn haeddu sylw arbennig. Hyd yn oed o ystyried y ffaith bod yn y bobl gorffennol magwyd ger ein bron, yn dal dylid nodi bod yn y 16 mlynedd o John. Buhl yn dysgu yn ysgol y pentref, ac i 20 mlynedd agorodd ei ysgol ei hun yn Lincoln. Mathemategydd meistroli pum ieithoedd tramor berffaith, ac yn ei amser hamdden, yn darllen gweithiau Newton a Lagrange. Ac mae hyn i gyd - ar fab i weithiwr gyffredin!

Ym 1839, anfonodd Buhl ei bapurau gwyddonol cyntaf yn y Cambridge Mathemategol Journal. Gwyddonydd troi 24 oed. gwaith Boole yn aelodau mor diddordeb y Gymdeithas Frenhinol, yn 1844 derbyniodd fedal am ei gyfraniad i ddatblygiad dadansoddi mathemategol. Mae ychydig o bapurau a gyhoeddwyd lle mae elfennau o rhesymeg fathemategol, mathemateg caniatáu i'r ifanc i gymryd swydd athro yn y Coleg Sir Cork yn cael eu disgrifio. Dwyn i gof bod yn y addysg Boole iawn nid oedd.

syniad

Mewn egwyddor, algebra Boole yn syml iawn. Mae datganiadau (rhesymegol ymadroddion), o safbwynt mathemateg, dim ond eu diffinio yn ddau air: "gwir" neu "ffug". Er enghraifft, coed yn eu blodau gwanwyn - y gwir, yn yr haf mae'n bwrw eira - celwydd. Yr hyn sy'n wych o fathemateg yw nad yw'n gwbl angenrheidiol i ddefnyddio rhifau yn unig. Ar gyfer y dyfarniadau algebra eithaf ffitio unrhyw ddatganiadau gydag ystyr unigryw.

Felly, gall y algebra o resymeg yn cael ei ddefnyddio yn llythrennol ym mhob man: yn y cyfarwyddyd amserlennu ac ysgrifennu, dadansoddi gwybodaeth anghyson am y digwyddiadau a phenderfynu ar y dilyniant o gamau gweithredu. Y peth mwyaf pwysig - i sylweddoli nad oes ots sut yr ydym yn penderfynu ar y gwirionedd neu falsity o ddatganiadau. O'r rhain "sut" a "pam" mae angen i chi anwybyddu. Beth sy'n bwysig yw dim ond yn ddatganiad o ffaith: y gwir yn gorwedd.

Wrth gwrs, rhaglennu swyddogaethau pwysicaf y algebra o resymeg sy'n cael eu cofnodi gydag arwyddion a symbolau priodol. A dysgu nhw - mae'n ei olygu i ddysgu iaith dramor newydd. Nid oes dim yn amhosibl.

cysyniadau sylfaenol a diffiniadau

Heb fynd i ddyfnder, rydym yn delio â therminoleg. Felly, algebra Boole rhagdybio:

• datganiadau;
• gweithrediadau rhesymegol;
• swyddogaethau a chyfreithiau.

Datganiadau - unrhyw fynegiant gadarnhaol y gellir ei ddehongli dwy gwerthfawrogi. Maent yn cael eu hysgrifennu fel rhifau (5> 3) neu eiriau cyfarwydd llunio (eliffant - mamal mwyaf). Yn yr achos hwn, mae'r ymadrodd "nad gwddf jiraff yw" hefyd yr hawl i fodoli, dim ond algebra Boole ddiffinio fel "celwydd."

Dylai pob datganiad fod yn ddiamwys, ond efallai eu bod yn sylfaenol neu cyfansawdd. defnydd diweddar bwndel rhesymegol. E. Yn y cyfansoddyn dyfarniadau datganiadau algebra a ffurfiwyd drwy ychwanegu gweithrediadau rhesymeg elfennol.

gweithrediadau algebra Boole

Rydym eisoes yn cofio bod y gweithrediadau yn y algebra o ddyfarniadau - rhesymegol. Yn union fel y algebra niferoedd sy'n defnyddio'r gweithrediadau rhifyddeg i adio, tynnu, neu gymharu rhifau, elfennau rhesymeg mathemategol yn caniatáu i wneud datganiadau cymhleth, i wrthod neu i gyfrifo'r canlyniad terfynol.

gweithrediadau rhesymeg ar gyfer ffurfioli a symlrwydd a fynegwyd gan y fformiwla, yn gyfarwydd i ni yn rhifyddeg. Priodweddau hafaliadau algebra Boole yn ei gwneud yn bosibl i gofnodi a chyfrifo anhysbys. gweithrediadau rhesymegol fel arfer yn cael eu cofnodi gan y tabl gwir. Mae ei elfennau diffinio colofnau a gweithrediad cyfrifiadurol sy'n cael ei berfformio arnynt, a'r rhesi yn dangos y canlyniad cyfrifiadau.

rhesymeg sylfaenol o weithredu

Y mwyaf cyffredin yn y gweithrediadau algebra Boole yn negyddu (NID), a'r rhesymegol AC a NEU. Felly mae'n bosibl disgrifio yn ymarferol yr holl gamau yn y dyfarniadau algebra. Rydym yn hastudio'n fanwl mhob un o'r tri gweithrediadau.

Mae'r negyddu (Nid) yn cyfeirio at dim ond un elfen (operand). Felly, a elwir yn y llawdriniaeth yn negyddu unary. Cofnodi y cysyniad o "Nid yw" gan ddefnyddio symbolau o'r fath: ¬A, A NEU A !. Ar ffurf tabl mae'n edrych fel hyn:

Swyddogaeth gwrthod nodweddiadol o datganiad o'r fath: os yw A yn wir, yna A - yn ffug. Er enghraifft, y lleuad yn troi o gwmpas y Ddaear - y gwir; Ddaear yn troi o gwmpas y lleuad - celwydd.

lluosi rhesymegol a ychwanegiad

Gelwir Rhesymegol A llawdriniaeth yn un cyd. Beth mae'n ei olygu? Yn gyntaf, y gellir ei gymhwyso i ddau operands, hy, I - .. gweithrediad deuaidd. Yn ail, dim ond yn achos y gwirionedd y ddau operands (A a B) yn cael ei wir ac mae'r mynegiant ei hun. Mae'r ddihareb, "Amynedd ac ychydig o ymdrech" yn awgrymu mai dim ond dau ffactor helpu person i ymdopi â'r anawsterau.

symbolau yn cael eu defnyddio ar gyfer cofnodi: A∧B, A⋅B neu A && B.

Cyd yn debyg i Lluosi yn rhifyddeg. Weithiau a dweud - lluosi rhesymegol. Os byddwch yn lluosi elfennau o'r rhesi o'r tabl, rydym yn cael canlyniad tebyg i meddwl rhesymegol.

Datgysylltiad yn rhesymegol NEU gweithrediad. Mae'n TRUE os yw o leiaf un o'r datganiadau yn wir (naill ai A neu B). Cafodd ei ysgrifennu fel hyn: A∨B, A + B neu A || B. y tabl gwirionedd ar gyfer gweithrediadau hyn yw:

Datgysylltiad ychwanegiad rhifyddeg tebyg. llawdriniaeth ben rhesymegol dim ond un cyfyngiad: 1 + 1 = 1. Ond i ni gofio bod mewn fformat digidol yn cael ei gyfyngu i rhesymeg fathemategol 0 ac 1 (lle mae 1 - y gwir, 0 - ffug). Er enghraifft, mae'r datganiad "yn yr amgueddfa gallwch weld campwaith neu ddod o hyd i gwmni da" yn golygu yr hyn y gallwch weld gweithiau celf, ac mae'n bosibl i gwrdd person diddorol. Ar yr un pryd, peidiwch â diystyru'r posibilrwydd o gyflawniad yr un pryd ddau ddigwyddiad.

Swyddogaethau a chyfreithiau

Felly, yr ydym eisoes yn gwybod yr hyn y mae'r gweithrediad rhesymegol gan ddefnyddio algebra Boole. Swyddogaethau disgrifio'r holl mhriodweddau elfennau o rhesymeg fathemategol, ac yn ein galluogi i symleiddio datganiadau cyfansawdd cymhleth. Y mwyaf clir a syml yn ymddangos yn eiddo'r gwrthod y gweithrediadau deilliadau. Drwy deilliadau yn cael eu deall XOR, goblygiadau a chywerthedd. Fel yr ydym wedi darllen yn unig â'r gweithrediadau sylfaenol, ac yna yr eiddo hefyd yn ystyried nhw.

Associativity yn golygu bod yn y datganiadau megis "nid y ddau A a B, a B 'rhestr dilyniant o'r operands yw o bwys. Mae'r fformiwla wedi ei ysgrifennu fel a ganlyn:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Fel y gwelwch, nid yw hyn yn unigryw i'r cyd ond datgysylltiad.

Commutativity yn dadlau nad yw canlyniad y cyd neu datgysylltiad yn dibynnu ar ba Ystyriwyd yr eitem ar y cychwyn:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity yn caniatáu datgelu cromfachau mewn ymadroddion rhesymegol cymhleth. Rheolau yn debyg i'r parenthesis agor yn y lluosi ac adio mewn algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

priodweddau Uned a'r crafu, a all fod yn un o'r operands hefyd yn debyg i'r lluosi algebraidd gan sero neu un, ac ychwanegu uned:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency dweud wrthym fod os cymharol dau operands cyfartal canlyniad y llawdriniaeth yn yr un fath, gallwch "daflu" y operands rhesymu gymhlethu dros ben. Ac mae'r gweithrediadau cyd a datgysylltiad yn idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Caffael hefyd yn ein galluogi i symleiddio'r hafaliad. Amsugno yn datgan bod pan fydd yr ymadrodd yn cael ei gymhwyso i un operand, llawdriniaeth arall gyda'r un elfen o'r canlyniad operand yn amsugno gweithrediad.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

dilyniant o weithrediadau

Mae'r dilyniant o weithrediadau yn bwysig iawn. A dweud y gwir, ag ar gyfer algebra, mae swyddogaeth blaenoriaeth sy'n defnyddio algebra Boole. Gall fformiwlâu eu symleiddio ond yn amodol ar arwyddocâd y gweithrediadau. Safle o'r rhai mwyaf arwyddocaol i ddibwys, rydym yn cael y drefn ganlynol:

1. Gwrthod.

2. Cydweithrediad.

3. Mae'r datgysylltiad, XOR.

4. Y goblygiad, cywerthedd.

Fel y gwelwch, dim ond y negyddu y cyd ac nid oes ganddynt yr un flaenoriaeth. Mae blaenoriaeth y datgysylltiad a XOR yn gyfartal, yn ogystal â blaenoriaethau goblygiadau a chywerthedd.

Swyddogaethau goblygiad a cywerthedd

Fel yr ydym wedi dweud, yn ychwanegol at y gweithrediadau rhesymegol sylfaenol, rhesymeg mathemategol a theori o algorithmau defnyddio deilliadau. Mae'n fwyaf aml, mae'r goblygiadau a chywerthedd.

Y goblygiad neu'r canlyniad rhesymegol - datganiad hwn, lle mae un weithred yn gyflwr, a'r llall - y canlyniad ei weithredu. Mewn geiriau eraill, mae'r cynnig hwn gyda'r esgus o "os ... yna". "Ar ôl cinio daw'r cyfrif." E. I yrru i gael eu tynhau ar y bryn sled. Nid os nad oes awydd i symud i lawr o'r mynydd, ac yna llusgwch y sled yn angenrheidiol. Ei ysgrifennu fel: A → B neu A⇒B.

Cywerthedd yn awgrymu bod yr effaith net yn digwydd dim ond pan fydd y ddau operands yn wir. Er enghraifft, nos yn rhoi ffordd i ddydd, yna (a dim ond wedyn), pan fydd yr haul yn codi dros y gorwel. Yn yr iaith rhesymeg fathemategol y datganiad hwn yn cael ei ysgrifennu fel A≡B, A⇔B, A == B.

ddeddfau eraill o algebra Boole

dyfarniad Algebra yn datblygu, ac mae llawer o wyddonwyr sydd â diddordeb i lunio deddfau newydd. Yr enwocaf yn cael eu hystyried rhagdybio mathemategydd Alban O. De Morgan. Sylwodd a rhoddodd diffiniad o eiddo o'r fath fel negyddu agos, adio a negyddol dwbl.

gwadu agos yn awgrymu nad oes gwadu o flaen y cromfachau yw: Nid (A neu B) = Nid A neu B. NI

Pan fydd y operand cael ei wrthod, waeth beth yw ei werth, yn ei ddweud am hynny:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Ac yn olaf, y negyddu dwbl ei hun yn gwneud iawn. hy cyn naill ai negyddu operand diflannu neu'n parhau i fod dim ond un.

Sut i ddatrys profion

Logic yn awgrymu hafaliadau symleiddio a bennwyd ymlaen llaw. Yn union fel yn yr algebra Gorweddwch, mae angen i hwyluso amod cyntaf maximally (i gael gwared o weithrediadau mewnbwn cymhleth, a chyda hwy), wedyn yn dechrau chwilio am ateb cywir.

Beth i'w wneud i symleiddio? Trosi holl deilliadau mewn gweithrediad syml. Yna datgelu'r holl cromfachau (neu i'r gwrthwyneb, i wneud y cromfachau i leihau'r elfen hon). Y cam nesaf fydd defnyddio'r eiddo algebra Boole yn ymarferol (eiddo amsugno sero ac un, a t.).

Yn y pen draw, dylai'r hafaliad yn cynnwys nifer lleiaf o anhysbys, ynghyd â gweithrediadau syml. Y ffordd hawsaf i chwilio am ateb, os ydych yn gwneud nifer fawr o negatifau agos. Yna bydd yr ateb pop i fyny fel pe bai ei ben ei hun.