Mae'r Damcaniaeth Riemann. Dosbarthiad rhifau cysefin

Ym 1900, un o wyddonwyr mwyaf y ganrif ddiwethaf, David Hilbert gwneud rhestr sy'n cynnwys 23 o broblemau heb eu datrys o fathemateg. Mae gwaith arnynt wedi cael effaith aruthrol ar ddatblygiad y maes o wybodaeth ddynol. Ar ôl 100 mlynedd yn y Sefydliad Mathemategol Clay cyflwyno rhestr o saith problemau, a elwir yn amcanion y Mileniwm. Ar gyfer y penderfyniad pob un ohonynt yn cael ei gynnig y wobr o $ 1 filiwn.

Yr unig broblem, a oedd ymhlith y ddwy restr o bosau, am nad canrifoedd oedd yn rhoi gorffwys i wyddonwyr, daeth y ddamcaniaeth Riemann. Mae hi yn dal i aros am ei benderfyniad.

gwybodaeth gryno bywgraffiadol

Roedd Georg Friedrich Bernhard Riemann eni yn 1826 yn Hanover, mewn teulu mawr o fugail tlawd, ac yn byw dim ond 39 mlwydd oed. Llwyddodd i gyhoeddi 10 papurau. Fodd bynnag, yn ystod oes Riemann fod yn ystyried yn olynydd ei athro Johann Gauss. Ar 25 mlynedd gwyddonydd ifanc yn amddiffyn ei draethawd "Sylfeini o'r theori o swyddogaethau newidyn cymhleth." Yn ddiweddarach llunio ei ddamcaniaeth, a ddaeth yn enwog.

rhifau cysefin

Daeth Mathemateg pan ddysgwyd dyn i gyfrif. Yna cododd y syniad cyntaf y rhifau, a oedd yn ceisio yn ddiweddarach i ddosbarthu. Mae wedi bod yn sylwi bod rhai ohonynt wedi eiddo cyffredin. Yn benodol, ymhlith y nifer naturiol m. E. Y rhai a ddefnyddiwyd yn y cyfrifiad (rhifo) neu nifer penodedig o eitemau wedi cael ei ddyrannu grŵp o fath sy'n cael eu rhannu yn unig gan un a hwy eu hunain. Fe'u gelwir syml. Mae prawf cain o'r theorem set anfeidrol o rifau a roddwyd gan Euclid yn ei "Elfennau". Ar hyn o bryd, rydym yn parhau i chwilio. Yn benodol, y mwyaf o nifer o hysbys ² 74207281 - 1.

fformiwla Euler yn

Ynghyd â'r syniad o anfeidrol o rhifau cysefin Euclid diffiniedig ac mae'r ail theorem yr unig ffactoriad posibl. Yn ôl iddo unrhyw gyfanrif positif yn gynnyrch set dim ond un o'r rhifau cysefin. Yn 1737, roedd y mathemategydd gwych Almaen Leonhard Euler Mynegodd cyntaf o theorem Euclid ar anfeidredd y fformiwla a ddangosir isod.

Fe'i gelwir yn y swyddogaeth Zeta, lle mae s - yn gyson ac p yn holl werthoedd syml. O fod yn dilyn yn uniongyrchol a chymeradwyaeth y unigrywiaeth ehangu Euclid.

swyddogaeth Zeta Riemann

fformiwla Euler ar edrych yn fanylach yn eithaf rhyfeddol, fel y nodir gan y gymhareb rhwng y syml ac cyfanrifau. Wedi'r cyfan, yn ei ochr chwith yn cael eu lluosi ganmil llawer ymadroddion sy'n dibynnu yn unig ar syml, ac yn y swm cywir yn gysylltiedig â pob cyfanrif positif.

Aeth Riemann ar Euler. Er mwyn dod o hyd i'r allwedd i'r broblem o ddosbarthiad y rhifau, y bwriad yw i ddiffinio fformiwla ar gyfer y newidyn real a chymhleth. Hi a ddiweddarach daeth yn adnabyddus fel y swyddogaeth Zeta Riemann. Ym 1859 cyhoeddodd y gwyddonydd erthygl dwyn y teitl "Ar y nifer o rhifau cysefin nad ydynt yn fwy na gwerth a bennwyd ymlaen llaw", sy'n crynhoi eu holl syniadau.

arfaethedig Riemann y defnydd o nifer o Euler, cydgyfeiriol ar gyfer yr holl s go iawn> 1. Os bydd yr un fformiwla yn cael ei ddefnyddio ar gyfer s cymhleth, yna bydd y gyfres yn cydgyfarfod ar gyfer unrhyw werth y newidyn gyda'r rhan go iawn yn fwy na 1. defnyddio Riemann parhad dadansoddol y weithdrefn drwy ehangu y diffiniad o zeta (au) ar gyfer pob rhif cymhleth, ond "taflu" uned. Nid oedd yn bosibl, oherwydd os s = 1 swyddogaeth Zeta yn cynyddu i anfeidredd.

ystyr ymarferol

Mae'r cwestiwn yn codi: beth yw swyddogaeth Zeta diddorol a phwysig, sydd yn hanfodol yn y gwaith o Riemann ar y rhagdybiaeth nwl? Fel y gwyddoch, ar hyn o bryd nid dod o hyd i batrwm syml sy'n disgrifio dosbarthiad rhifau cysefin ymhlith y naturiol. Riemann gallu canfod bod nifer y pi (x) o rifau cysefin, nad ydynt yn rhagori ar x, yn cael ei fynegi gan y dosbarthiad o swyddogaeth sero Zeta nontrivial. Ar ben hynny, mae'r rhagdybiaeth Riemann yn amod angenrheidiol er mwyn profi gwerthusiadau dros dro penodol algorithmau cryptograffig.

Mae'r ddamcaniaeth Riemann

Un o'r fformwleiddiadau cyntaf y broblem fathemategol hwn, heb ei brofi hyd heddiw, yw: ddibwys swyddogaeth 0 Zeta - rhifau cymhleth gyda rhan go cyfartal i ½. Mewn geiriau eraill, maent yn cael eu trefnu ar linell syth Re s = ½.

Mae yna hefyd ddamcaniaeth Riemann cyffredinol, sef yr un datganiad, ond ar gyfer cyffredinoli o'r Zeta-swyddogaethau, a elwir yn y Dirichlet (gweler. Photo isod) L-swyddogaethau.

Yn y χ fformiwla (n) - cymeriad rhifiadol (k mod).

Datganiad Riemann yw'r ddamcaniaeth hyn a elwir yn null, fel sydd wedi ei gwirio am gysondeb gyda'r data sampl presennol.

Wrth i mi dadlau Riemann

Lluniwyd Nodyn mathemategydd Almaeneg yn wreiddiol yn eithaf ddidaro. Y ffaith yw bod ar y pryd y gwyddonydd yn mynd i brofi theorem ar ddosbarthiad rhifau cysefin, ac yn y cyd-destun hwn, nid yw ddamcaniaeth yw hyn yn cael llawer o effaith. Fodd bynnag, mae ei rôl wrth fynd i'r afael â llawer o faterion eraill yn enfawr. Dyna pam y ddamcaniaeth Riemann am nawr llawer o wyddonwyr yn cydnabod pwysig o broblemau mathemategol heb eu profi.

Fel y dywedwyd, i brofi theorem ar ddosbarthiad y rhagdybiaeth Riemann llawn yn angenrheidiol, ac yn eithaf rhesymegol profi bod y rhan go iawn o unrhyw nad ydynt yn fân sero o'r swyddogaeth Zeta yw rhwng 0 a 1. eiddo hwn yn awgrymu bod y swm yr holl 0-m swyddogaeth Zeta sy'n ymddangos yn union fformiwla uchod, - cyfyngedig gyson. Ar gyfer gwerthoedd mawr o x, gall fod i gyd yn cael ei golli. Yr unig aelod o'r fformiwla, a fydd yn aros yn ddigyfnewid hyd yn oed ar x uchel iawn, x yw ei hun. Mae gweddill y termau cymhleth mewn cymhariaeth ag ef asymptotically diflannu. Felly, mae'r swm wedi'i bwysoli yn tueddu i x. Gall hyn ffaith yn cael ei ystyried fel prawf o wirionedd theorem rhif cysefin. Felly, mae'r zeros y swyddogaeth Riemann Zeta ymddangos rôl arbennig. Mae'n profi bod na all y gwerthoedd hyn yn cyfrannu'n sylweddol at y fformiwla ehangu.

ddilynwyr Riemann

Marwolaeth drasig o'r ddarfodedigaeth atal y gwyddonydd yn dod i ben rhesymegol y rhaglen. Fodd bynnag, fe gymerodd y baton gan yr W-F. de la Vallée Poussin a Zhak Adamar. Annibynnol ar ei gilydd eu bod wedi tynnu'n ôl theorem rhif cysefin. Hadamard a Poussin llwyddo i brofi bod pob swyddogaeth 0 Zeta nontrivial eu lleoli o fewn y band critigol.

Diolch i waith gwyddonwyr hyn, cangen newydd o fathemateg - damcaniaeth dadansoddol o rifau. Yn ddiweddarach, ymchwilwyr eraill wedi derbyn ychydig prawf mwy cyntefig y theorem yn gweithio yn Rhufain. Yn benodol, Pal Erdos a Atle Selberg wedi agor hyd yn oed yn cadarnhau ei gadwyn hynod gymhleth o resymeg, nid angen defnyddio dadansoddiad cymhleth. Fodd bynnag, ar hyn o bryd y syniad o Riemann gan nifer o theoremau pwysig wedi cael eu profi, gan gynnwys brasamcan o'r nifer o swyddogaethau o theori rhif. Mewn cysylltiad â hyn gwaith newydd Erdos a Atle Selberg bron unrhyw beth nad effeithir arnynt.

Un o'r dystiolaeth symlaf a mwyaf prydferth y broblem wedi cael ei ganfod yn 1980 gan Donald Newman. Roedd yn seiliedig ar y theorem Cauchy adnabyddus.

Dan Fygythiad os bydd damcaniaeth Riemann yw sail cryptography modern

encryption Data i'r amlwg gyda ymddangosiad o gymeriadau, neu yn hytrach, efallai y byddant hwy eu hunain gael eu hystyried yn y cod cyntaf. Ar hyn o bryd, mae tueddiad hollol newydd o cryptograffeg digidol, sydd yn cymryd rhan yn y gwaith o ddatblygu algorithmau amgryptio.

Syml ac "Semisimple" rhif m. E. Y rhai sy'n cael eu rhannu yn unig i mewn dau rif arall o'r un dosbarth, yn sail i system allwedd gyhoeddus, a elwir yn RSA. Mae ganddo cais eang. Yn benodol, mae'n cael ei ddefnyddio yn y genhedlaeth o llofnod electronig. Os byddwn yn siarad yn nhermau'r ar gael "tebot", mae'r ddamcaniaeth yn honni Riemann bodolaeth y system yn y dosbarthiad o rifau cysefin. Felly, yn sylweddol llai gwrthiant o allweddi cryptograffig, ar sy'n dibynnu diogelwch trafodion ar-lein mewn e-fasnach.

problemau mathemategol heb eu datrys Arall

Cwblhau erthygl yn werth neilltuo ychydig o eiriau i dasgau eraill y mileniwm. Mae'r rhain yn cynnwys:

• Cydraddoldeb o ddosbarthiadau P a PC. Mae'r broblem yn cael ei llunio fel a ganlyn: os yw ateb cadarnhaol i gwestiwn a roddwyd yn gwirio mewn pryd polynomial, yna yw hi'n wir fod ef ei hun yn gallu ateb i'r cwestiwn hwn i'w gael yn gyflym?
• Hodge dyfalu. Yn syml gellir datgan fel a ganlyn: ar gyfer rhai mathau o maniffoldiau algebraidd tafluniol (lleoedd) cylchoedd Hodge yn gyfuniadau o wrthrychau sydd â dehongliad geometrig, hy cylchoedd algebraidd ...
• dyfalu Poincaré. Dyma'r unig profi ar y problemau hyn o bryd mileniwm. Yn ôl iddo unrhyw wrthrych tri-dimensiwn gael eiddo penodol y cylch 3-dimensiwn, mae'n rhaid i'r cylch fod yn gywir i anffurfio.
• Cymeradwyo Gorchymyn cwantwm Yang - damcaniaeth Mills. Mae angen i ni brofi bod ddamcaniaeth cwantwm, a gyflwynwyd gan wyddonwyr hyn i'r gofod R ^4, mae diffyg 0-màs ar gyfer unrhyw graddnodi syml o grŵp compact G.
• Mae'r ddamcaniaeth yr Birch - Swinnerton-Dyer. Mae hon yn broblem arall sy'n berthnasol i cryptography. Mae'n ymwneud â'r cromliniau eliptigol.
• Mae'r broblem o fodolaeth a llyfnder atebion y Navier - hafaliadau Stokes.

Nawr eich bod yn gwybod y ddamcaniaeth Riemann. Yn syml, rydym wedi llunio a rhai o amcanion eraill y mileniwm. Mae'r ffaith y byddant yn cael eu datrys neu mae'n profi nad oes ganddynt ateb - mae'n fater o amser. Ac mae hyn yn annhebygol o gael aros yn rhy hir, gan fod y fathemateg yn gynyddol yn defnyddio pŵer cyfrifiadurol o gyfrifiaduron. Fodd bynnag, nid yw popeth yn amodol ar y gelfyddyd ac i ddatrys problemau gwyddonol yn gofyn greddf a chreadigrwydd yn bennaf.