Mae deilliad y sin o'r ongl yn hafal i gwn yr un ongl

O ystyried y swyddogaeth trigonometreg symlaf y = Sin (x), mae'n wahanol ar bob un o'i bwyntiau o barth cyfan y diffiniad. Mae angen profi bod deilliant syn unrhyw ddadl yn gyfartal â cosin yr un ongl, hynny yw, y '= Cos (x).

Mae'r prawf yn seiliedig ar ddiffiniad deilliad y swyddogaeth

Rydym yn diffinio x (fympwyol) mewn cymdogaeth fach Δx o bwynt penodol x0. Gadewch i ni ddangos gwerth y swyddogaeth ynddi ac ar y pwynt x i ganfod cynnydd mewn swyddogaeth benodol. Os yw Δx yn gynyddu'r ddadl, yna y ddadl newydd yw x ₀ + Δx = x, gwerth y swyddogaeth hon am werth penodol y ddadl y (x) yw Sin (x ₀ + Δx), gwerth y swyddogaeth ar bwynt penodol y (x ₀ ) .

Nawr mae gennym Δy = Sin (x ₀ + Δx) -Sin (x ₀ ) yw cynyddu'r swyddogaeth a gafwyd.

Gan fformiwla sine y swm o ddwy ong anghyfartal, byddwn yn trawsnewid y gwahaniaeth Δy.

(Cos) = cos (Δx) + Cos (x ₀ ) · Sin (Δx) llai Sin (x ₀ ) = (Cos (Δx) -1) · Sin (x ₀ ) + Cos (x ₀ ) · Sin (Δx).

Wedi perfformio atgyfnerthiad o'r termau, grwpiwyd y cyntaf gyda'r trydydd Sin (x ₀ ), yn cario lluosydd cyffredin - sine - ar gyfer y cromfachau. Cawsom yn yr ymadrodd y gwahaniaeth Cos (Δx) -1. Mae'n parhau i newid yr arwydd o flaen y braced ac mewn rhosynnau. Gan wybod beth yw 1-Cos (Δx), rydyn ni'n ei wneud yn lle amnewid ac yn cael mynegiant syml Δy, y byddwn wedyn yn ei rannu â Δx.
Bydd Δy / Δx yn cael y ffurflen: Cos (x ₀ ) · Sin (Δx) / Δx-2 · Sin ² (0.5 · Δx) · Sin (x ₀ ) / Δx. Dyma'r gymhareb o gynyddu'r swyddogaeth i gynnydd caniataol y ddadl.

Mae'n parhau i ddod o hyd i derfyn y gymhareb a gafwyd ar gyfer Δx yn tueddu i ddim.

Mae'n hysbys bod y terfyn Sin (Δx) / Δx yn hafal i 1, o dan yr amod hwn. Mae'r ymadrodd 2 · Mae llai na ² (0,5 · Δx) / Δx yn y cynefin sy'n deillio o'r cynnyrch yn cynnwys y terfyn rhyfeddol cyntaf fel lluosydd: rhannwch rifiadur ac enwadur y ffracsiwn â 2, disodli sgwâr y sine gan y cynnyrch. Yma felly:
(Sin (0.5 · Δx) / (0.5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Mae cyfyngiad yr ymadrodd hwn ar gyfer Δx yn tueddu i ddim yn gyfartal â sero (1 wedi'i luosi â 0). Mae'n ymddangos bod terfyn y gymhareb Δy / Δx yn Cos (x ₀ ) · 1-0, dyma Cos (x ₀ ), mynegiant nad yw'n dibynnu ar Δx yn tueddu i 0. Mae hyn yn arwain at y casgliad bod deilliant sen unrhyw ongl x yn Cosine x, rydym yn ysgrifennu fel y '= Cos (x).

Mae'r fformiwla ganlynol yn cael ei gofnodi yn y tabl hysbys o ddeilliadau, lle mae'r holl swyddogaethau elfennol

Wrth ddatrys problemau lle mae deilliad sinws yn digwydd, gall un ddefnyddio'r rheolau gwahaniaethu a fformiwlâu parod o'r tabl. Er enghraifft: canfod y deilliad o'r swyddogaeth symlaf y = 3 · Sin (x) -15. Rydym yn defnyddio'r rheolau gwahaniaethu elfennol, tynnu'r ffactor rhifiadol y tu ôl i arwydd y deilliad, a chyfrifo deilliad rhif cyson (mae'n sero). Rydym yn cymhwyso gwerth tabliedig deilliad syn yr ongl x, sy'n hafal i Cos (x). Cawn yr ateb: y '= 3 · Cos (x) -O. Mae'r deilliad hwn, yn ei dro, hefyd yn swyddogaeth elfennol y = 3 · Cos (x).

Mae deilliad y sine wedi'i sgwennu o unrhyw ddadl

Wrth gyfrifo'r ymadrodd hwn (Sin ² (x)) ', mae angen cofio sut mae'r swyddogaeth gymhleth yn cael ei wahaniaethu. Felly, y = sin ² (x) - yn swyddogaeth pŵer, gan fod y sine wedi'i sgwâr. Mae ei ddadl hefyd yn swyddogaeth trigonometrig, Dadl gymhleth. Mae'r canlyniad yn yr achos hwn yn gyfartal â'r cynnyrch y mae ei ffactor cyntaf yn deillio sgwâr y ddadl gymhleth a roddir, a'r ail yw deilliant y sine. Dyma sut mae'r rheol ar gyfer gwahaniaethu swyddogaeth swyddogaeth yn edrych: (u (v (x))) 'yn hafal i (u (v (x)))' (v (x)) '. Mae'r ymadrodd v (x) yn ddadl gymhleth (swyddogaeth fewnol). Os yw'r swyddogaeth "igrok yn gyfartal â'r sine yn y sgwâr x" yn cael ei roi, yna deilliant y swyddogaeth gymhleth hon yw y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). Yn y cynnyrch, y lluosydd cyntaf dyblu yw deilliad y swyddogaeth pŵer hysbys, a Cos (x) yw deilliad y sine, y ddadl o swyddogaeth cwadratig gymhleth. Gellir trawsnewid y canlyniad terfynol trwy ddefnyddio'r fformiwla sengl trigonometrig o'r ongl dwbl. Ateb: y deilliad yw Sin (2 · x). Mae'r fformiwla hon yn cael ei gofio'n hawdd, fe'i defnyddir yn aml fel tabl.